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MOOC Introduction à la théorie de Galois

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MOOC Introduction à la théorie de Galois

Le MOOC expose la théorie de Galois, du classique critère de non-résolubilité des équations polynomiales aux méthodes plus avancées de calcul de groupes de Galois par réduction modulo un nombre premier.

MOOC sur Coursera - du 12.04.18 au 28.06.2018
Auteur(s): Olivier Debarre, Yves Laszlo

Présentation du MOOC Introduction à la théorie de Galois

Informations pratiques sur le MOOC

  • Type: MOOC, cours en ligne, devoirs, évaluation
  • Temps d'apprentissage: 11 semaines
  • Niveau: à partir du pré-doctorat
  • Durée d'exécution: de 05:00h à 07:00h/semaine
  • Langues: français
  • Contenu: vidéos
  • Public cible: pré-doctorants, doctorants
  • Document: Document HTML

Description du MOOC

Le thème général de cette théorie est l'étude des racines d'un polynôme et concerne en particulier la possibilité de les exprimer à partir des coefficients de ce polynôme. Évariste Galois considère les symétries de ces racines et associe ainsi à ce polynôme un groupe de permutations de ses racines, que l'on appelle maintenant son groupe de Galois. Il dégage à cette occasion pour la première fois, dans ce cadre, la notion de groupe, maintenant omniprésente en mathématiques. Son étude lui permet d'expliquer pourquoi les racines d'une équation prise au hasard ne s'expriment en général pas par des formules algébriques faisant intervenir ses coefficients à partir du degré 5, un résultat démontré auparavant par Abel. L'étude du groupe de Galois du polynôme permet de dire de façon précise quand une telle formule existe. C'est ce que l'on appelle la correspondance de Galois : elle relie de part et d'autre :

  • la théorie des corps
  • la théorie des groupes

Ce MOOC expliquera cette théorie en n'utilisant que des résultats de base d'algèbre linéaire. Vous étudierez d'un côté la théorie des corps, c'est-à-dire la façon dont les corps s'emboîtent les uns dans les autres, en introduisant la notion de nombre algébrique, surtout les racines de polynômes. D'un autre côté, les éléments nécessaires à l'étude des groupes de permutations sera introduite. Cela permettra d'expliquer la théorie de Galois :

  • dans son cadre d'origine, c'est-à-dire quand les coefficients du polynôme sont des nombres entiers
  • dans un cadre plus général, par exemple lorsqu'on réduit ces coefficients modulo un nombre premier p.

Le MOOC culminera avec une comparaison des groupes de Galois dans ces 2 situations :

  • "entière"
  • après réduction modulo p

Vous aurez ainsi un outil de calcul puissant de ces groupes.

Ce MOOC est l'occasion d'aborder des notions d'algèbre variées, essentielles dans de nombreux domaines des mathématiques, de manière très simple pour très vite aboutir à des résultats tout à fait remarquables. Nous n'avons pas cherché la généralité maximale mais au contraire à aller rapidement à l'essentiel en utilisant le minimum de formalisme abstrait. Le FLOTeur intéressé sera alors armé pour aller plus loin, en particulier grâce à la bibliographie ou à des cours plus avancés.

Déroulement du MOOC

Ce MOOC dure 11 semaines.

Plan du MOOC

  • Semaine 1 : Introduction
  • Semaine 2 : Extensions de corps
  • Semaine 3 : Polynôme minimal
  • Semaine 4 : Corps fini
  • Semaine 5 : Théorie des groupes I
  • Semaine 6 : Correspondance de Galois
  • Semaine 7 : Théorie des groupes II
  • Semaine 8 : Cyclotomie I
  • Semaine 9 : Théorèmes de résolubilité de Galois
  • Semaine 10 : Réduction modulo p
  • Semaine 11 : Compléments

Édition et diffusion du MOOC Introduction à la théorie de Galois

Édition

Diffusion

Plateforme

Publication : 5.02.2018