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MOOC Initiation à la théorie des distributions

MOOC Initiation à la théorie des distributions

Une fonction discontinue peut-elle être solution d'une équation différentielle ? Comment définir rigoureusement la masse de Dirac et ses dérivées ? Peut-on définir une notion de "dérivée d'ordre fractionnaire" ? Ce MOOC constitue une initiation aux distributions et permet de répondre à ces questions et à bien d'autres.

MOOC sur Coursera - du 5.02.18 au 16.04.2018
Auteur(s): François Golse, Yvan Martel

Présentation du MOOC Initiation à la théorie des distributions

Informations pratiques sur le MOOC

  • Type: MOOC, cours en ligne, exercices, Q.C.M., évaluation, certificat payant
  • Temps d'apprentissage: 216 heures
  • Niveau: à partir du baccalauréat
  • Durée d'exécution: 9 semaines
  • Langues: français
  • Contenu: vidéos
  • Public cible: étudiants
  • Age attendu: 18 et +

Description du MOOC

Dans plusieurs domaines des sciences apparaît la nécessité de développer un calcul différentiel "généralisé" pour des fonctions peu régulières, par exemple discontinues :

  • en physique
  • en mécanique
  • en analyse numérique
  • etc.

L'objet de ce MOOC est d'introduire la théorie des distributions qui fournit une réponse élégante à ce problème.

Dans un premier temps, nous présentons la notion de distribution, généralisant la notion de fonction, et les premières propriétés de ces objets mathématiques. On montre ensuite comment certaines opérations bien connues sur les fonctions, en particulier la dérivation, se prolongent de façon naturelle au cadre des distributions. Le MOOC s'achève sur quelques applications à des exemples classiques d'équations aux dérivées partielles linéaires.

Déroulement du MOOC

Ce MOOC dure 9 semaines.

Plan du MOOC

  • Semaine 1 :
    • Équations aux dérivées partielles (E.D.P.) d'ordre 1 et méthode des caractéristiques
    • L'équation de Hopf
    • Fonctions test
  • Semaine 2 : Définition des distributions
  • Semaine 3 :
    • Autres opérations sur les distributions
    • Formule des sauts en dimension 1
    • Intégration sur les courbes et les surfaces
  • Semaine 4 :
    • Formule des sauts en dimension>1 et applications
    • Distributions à support compact
    • Convolution des distributions par des fonctions régulières
  • Semaine 5 :
    • Régularisation des distributions
    • Convolution des distributions
    • Distributions tempérées
  • Semaine 6 :
    • Transformation de Fourier sur la classe de Schwartz
    • Transformation de Fourier des distributions tempérées
  • Semaine 7 :
    • Introduction à l'étude des E.D.P.
    • Exemples de solutions élémentaires
    • Détermination de quelques solutions élémentaires
  • Semaine 8 :
    • Fonctions harmoniques
    • Équation de Poisson
  • Semaine 9 :
    • Problème de Cauchy au sens des distributions
    • Exemples d'E.D.P. d'évolution d'ordre 1
    • Un exemple d'E.D.P. d'évolution d'ordre 2

Informations pédagogiques

Public

  • Public visé : Étudiants
  • Pré-requis : Ce MOOC nécessite de connaître :
    • le calcul différentiel à plusieurs variables
    • l'intégrale de Lebesgue

Vous devez avoir des notions élémentaires de topologie.

Objectif pédagogique du MOOC

  • Objectif : Ce MOOC constitue une introduction à la théorie des distributions.

Édition et diffusion du MOOC Initiation à la théorie des distributions

Édition

Diffusion

Plateforme

Publication : 2.02.2018